Janaki asal-mulanya gasan Teorema binomial

[[Barakas:Pascal triangle small.png|jmpl|Koefisien dari teorema binomial dapat dilihat pada segitiga pascal dan ditentukan menggunakan aturan kombinasi.]]

Dalam [[matamatika]] bidang [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[rumus]] penting nang mambariakan ekspansi atawa [[pangkat (matematika)|pangkat]] dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:

:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>

Gasan setiap bilangan [[bilangan riil|riil]] atawa [[bilangan kompleks|kompleks]] ''x'' dan ''y'', serta barataan [[bilangan bulat]] taknegatif ''n''. [[Koefisien binomial]] nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi [[faktorial]] ''n''!:
 
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.</math>

Gasan contoh, gasan 2 ≤ ''n'' ≤ 5:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>
:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>
:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,</math>
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,</math>

Lihati bahwa:
# Pangkat dari <math>x</math> bagarak turun dimana pada suku nang pertama dimulai lawan n (<math>x^n</math>) wan pada suku terakhir sama dengan 0 (<math>x^0=1</math>).
# Gasan pangkat dari <math>y</math> berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0 (<math>y^0=1</math>) wan pada suku terakhir sama dengan n (<math>y^n</math>).

Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:
:<math>(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\,</math>
:<math>(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,</math>
:<math>(x - y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4\,</math>

== Sejarah ==
Paristiwa-paristiwa khusus tarkait teorema binomial nang dikatahui sejak zaman kuno diikhtisarkan barikut ngini:

Abad ka-4 SM [[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]] [[Euklides]] manyambat kasus khusus teorema binomial hagan eksponen 2.<ref name=wolfram>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=Binomial Theorem|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|url=http://www.jstor.org/pss/2305028|title=The Story of the Binomial Theorem|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly|volume=56|issue=3|date=1949|pp=147–157|doi=10.2307/2305028}}</ref> Ada bukti bahwa teorema binomial hagan kubus sudah dikatahui pas abad ka-6 di India.<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />

Koefesien binomial, nang kaya jumlah kumbinasi nang manampaiakan banyak cara hagan mamilih ''k'' ubjik matan ''n'' tanpa panggantian, sudah manjadi parhatian urang-urang Hindu kuno. Referensi paling pamulaan nang dikatahui manganai parmasalahan kumbinasi ngini adalah ''Chandaḥśāstra'' karya panulis Hindu, [[Pingala]] (sakitar 200 SM), nang mamuat suatu mitude hagan sulusinya.<ref name=Chinese>{{cite book|title=A history of Chinese mathematics |author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer|year=1987}}</ref>{{rp|230}} Saikung panaliti bangaran [[Halayudha]] matan abad ka-10 M manjalasakan manganai mitudi ngini manggunaakan nang wayahini dipinandui lawan ngaran [[segitiga Pascal]].<ref name=Chinese /> Haratan abad ka-6 M, matematikawan Hindu mungkin sudah mangatahui cara manunjukkannya dalam sabuting parsamaan <math>\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=The roots of combinatorics|journal=Historia Math. |volume=6 |date=1979 |issue=2|pp=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0}}</ref> wan suatu pernyataan nang jelas manganai aturan ngini kawa ditamuakan dalam naskah abad ka-12 ''Lilavati'' karya [[Bhāskara II|Bhaskara]].<ref name="Biggs" />

Teorema binomial nang sama kawa ditamuakan pada hasil tulisan [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] abad ka-11, [[Al-Karaji]], nang manggambarakan pola sagitiga matan koefisien binomial.<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> Inya jua mambarii juga [[pembuktian matematika]] matan teorema binomial wan sagitiga lawan mamakai sabuting bantuk sadarhana matan [[induksi matematika]].<ref name=Karaji /> Penyari wan matematikawan Persia [[Umar Khayyām]] mungkin sudah akrab lawan rumus-rumus lawan pangkat nang tatinggi, maskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.<ref name="Coolidge" /> Ekspansi binomial lawan derajat halus sudah dikatahui ulih matematikawan abad ka-13 bangaran [[Yang Hui]]<ref>{{cite web
| last = Landau
| first = James A.
| title = Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle
| work = Archives of Historia Matematica
| format = mailing list email
| accessdate = 2007-04-13
| date = 1999-05-08
| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| archive-date = 2021-02-24
| archive-url = https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| dead-url = yes
}}</ref> wan [[Zhu Shijie]].<ref name="Coolidge" /> Yang Hui mahubungakan mitudi ngitu lawan naskah nang jauh labih pamulaan baasal matan abad ka-11 tulisan [[Jia Xian]], maskipun tulisan-tulisannya wayahini jua hilang.<ref name=Chinese />{{rp|142}}

== Referensi ==
[[Tumbung:Matamatika]]
[[Tumbung:Uperasi Matamatika]]
[[Tumbung:WikiBaiman]]